Question

【题目】已知点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，将曲线上所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）是曲线上两点，且， 为坐标原点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）面积的最大值为1.

【解析】试题分析：（1）由直接法,即利用坐标表示条件，并化简可得，再根据伸缩变换得曲线E的方程为.（2）设直线方程为： ，由点到直线距离公式可得三角形高，由三角形面积公式可得，利用直线方程与椭圆方程联立方程,结合韦达定理及弦长公式可得，代入消元可得一元二次函数,利用二次函数性质求最值.

试题解析：（I）设，

由伸缩变换得： ，即曲线E的方程为.

（II）设， ，直线方程为： ，

联立得，故，

由 ，得，

故原点到直线的距离，∴，

令，则，又，

当.

当斜率不存在时， 不存在，综合上述可得面积的最大值为1.