Question

已知数列{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，已知a₁+a₄=-

7

16

，且S₁，S₃，S₂成等差，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b_n=n（n∈N₊），记T_n=|

b1

a1

|+|

b2

a2

|+|

b3

a3

|+…+|

bn

an

|，若（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2，n∈N₊恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出；
（II）由b_n=n，an=(-

1

2

)n，可得

|bn|

|an|

=n•2ⁿ，利用“错位相减法”即可得到T_n．（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2，n∈N₊恒成立?m≥

n-1

2n+1-1

对n≥2恒成立．通过研究右边的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，
∵S₁，S₃，S₂成等差，
∴2S₃=S₁+S₂，
∴2a1(1+q+q2)=a1(2+q)，得2q²+q=0，q≠0，解得q=-

1

2

．
又a₁+a₄=-

7

16

，a1+a1q3=-

7

16

，∴a1[1+(-

1

2

)3]=-

7

16

，解得a1=-

1

2

，
∴an=-

1

2

•(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n．
（Ⅱ）∵b_n=n，an=(-

1

2

)n，∴

|bn|

|an|

=n•2ⁿ．
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2×(2n-1)

2-1

-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
若（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2，n∈N₊恒成立，则（n-1）²≤m[（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-n-1]，
∴m≥

n-1

2n+1-1

对n≥2恒成立．
令f（n）=

n-1

2n+1-1

，f(n+1)-f(n)=

n

2n+2-1

-

n-1

2n+1-1

=

(2-n)•2n+1-1

(2n+2-1)(2n+1-1)

＜0，
∴当n≥2时，f（n+1）＜f（n），f（n）为减函数，f(n)≤f(2)=

1

7

．∴m≥

1

7

．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式、“错位相减法”、数列的单调性、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于难题．