题目内容
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若
acosB+bsinA=
c，求角A；
（Ⅱ）若b=
a，c=2，且△ABC的面积为
，求a的值．
（Ⅰ）若
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（Ⅱ）若b=
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分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，利用诱导公式变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后求出tanA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角A的度数；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出面积，将已知b=
a及已知的面积代入表示出sinC，再利用余弦定理表示出cosC，利用同角三角函数间的平方关系列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出面积，将已知b=
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）∵
acosB+bsinA=
c，
由正弦定理可得：
sinAcosB+sinBsinA=
sinC=
sin（A+B）=
sinAcosB+
cosAsinB，
即sinBsinA=
cosAsinB，
∴sinA=
cosA，即tanA=
，
∴A=60°；
（Ⅱ）∵b=
a，△ABC的面积为
，
∴S△ABC=
absinC=
，
∴a2sinC=2，∴sinC=
①，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，
∴4a2-2
a2cosC=4，∴cosC=
②，
由①，②得：（
）2+（
）2=1，化简得a4-8a2+16=0，
∴（a2-4）2=0，
∴a=2．
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由正弦定理可得：
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即sinBsinA=
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∴sinA=
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∴A=60°；
（Ⅱ）∵b=
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∴S△ABC=
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∴a2sinC=2，∴sinC=
| 2 |
| a2 |
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，
∴4a2-2
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| 2a2-2 | ||
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由①，②得：（
| 2 |
| a2 |
| 2a2-2 | ||
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∴（a2-4）2=0，
∴a=2．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
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在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
bc，且b=
a，则下列关系一定不成立的是（ ）
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| A、a=c |
| B、b=c |
| C、2a=c |
| D、a2+b2=c2 |