Question

已知函数f（x）=e^x-bx
（1）当b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围；
（3）当b＞0时，讨论函数|f（x）|在区间（0，2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围．

Answer 1

解：（I）当b=1时f（x）=e^x-x，
∴f'（x）=e^x-1，
令f'（x）=0，得x=0，
f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

f（x）的单调递减区间为（-∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；…（5分）
（2）转化为y=e^x与y=bx的图象只有一个交点
当b＜0时，作出图象，发现满足要求；
当b≥0时，作出图象，
发现当且仅当y=e^x与y=bx相切时有一个交点
设切点为（x，y），则，解得
所以，b＜0或b=e…（10分）
（3）f（x）=e^x-bx，f'（x）=e^x-b，令f'（x）=e^x-b=0，则x=lnb
当x∈（-∞，lnb）时，f'（x）=e^x-b＜0，所以f（x）递减；
当x∈（lnb，+∞）时，f'（x）=e^x-b＞0，所以f（x）递增；
所以，f（x）的最小值为f（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）
当0＜b≤e时，f（lnb）=b（1-lnb）≥0，所以f（x）=e^x-bx≥0
∴|f（x）|=f（x）=e^x-bx，
此时，|f（x）|在（-∞，+∞）上无极大值，所以在（0，2）上无极大值
当b＞e时，f（lnb）=b（1-lnb）＜0，
∴，
可得：
若b≥e²，则lnb≥2，此时|f（x）|在（0，2）上无极大值；
若b＜e²，则lnb＜2，此时|f（x）|在（0，2）上有极大值|f（lnb）|=b（lnb-1）
综上得：
当0＜b≤e或b≥e²时，|f（x）|在（0，2）上无极大值；
当e＜b＜e²时，|f（x）|在（0，2）上有极大值|f（lnb）|=b（lnb-1）…（16分）
分析：（1）先求出函数的导涵数f'（x），在函数的定义域内解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函数的单调区间；
（2）先将原问题转化为y=e^x与y=bx的图象只有一个交点的问题，再对b进行分类讨论：当b＜0时，作出图象，发现满足要求；当b≥0时，作出图象，发现当且仅当y=e^x与y=bx相切时有一个交点．从而求出实数b的取值范围；
（3）求出f'（x）=e^x-b，令f'（x）=e^x-b=0，则x=lnb，不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函数的单调区间，然后根据极值的定义进行判定极值即可．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．