Question

证明以下命题：

（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；

（2）存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列．

Answer 1

证明：

（1）易知成等差数列，则也成等差数列，所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列．

（2）若成等差数列，则有，

即                  ……①

选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于

因此令，可得

易验证满足①，因此成等差数列，

当时，有且

因此以为边长可以构成三角形，将此三角形记为．

其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：

据此例性质有：

所以，由此可得，与假设矛盾，即任两个三角形与互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且以成等差数列．