Question

设函数（提示 ：）

（1）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；

（2） 若，证明对任意的正整数n，不等式都成立.

 

Answer 1

【答案】

（1）∵.

又函数f(x)在定义域上是单调函数 ∴f^/ (x) ≥0或f^/(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.若f^/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x² +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立.

即b≥-2x² -2x = 恒成立,由此得b≥.    

若f^/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x² +2x+b≤0,即b≤-(2x²+2x)恒成立，

因-(2x²+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值.

∴不存在实数b使f(x) ≤0恒成立.        综上所述，实数b的取值范围是.

（2）当b= - 1时，函数f(x) = x² - ln(x+1)

令函数h(x)=f(x) – x³ = x² – ln(x+1) – x³.

则h^/(x) = - 3x² +2x - .

∴当时，h^/(x)＜0所以函数h(x)在上是单调递减. -----10分

又h(0)=0，∴当时，恒有h(x) ＜h(0)=0,

即x² – ln(x+1) ＜x³恒成立.故当时,有f(x) ＜x³_.

∵取则有＜.

【解析】略