题目内容

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=
6
，AD=
3
，点E是棱PB的中点．
（1）求直线AD到平面PBC的距离；
（2）求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．
（3）求三棱锥P-ECD的体积．
分析：（1）易知直线AD∥平面PBC，故直线AD到平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，只需利用线面垂直的判定定理证明AE⊥平面PBC，再在三角形中计算线段AE的长即可
（2）先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再分别求两个半平面：平面AEC，平面ECD的法向量，最后将求二面角问题转化为求法向量夹角问题，利用数量积夹角公式计算即可
（3）先将求三棱锥P-ECD的体积，转化为求三棱锥D-PEC的体积问题，这样，便于计算底面△PEC的面积，而椎体的高可利用（1）的结论，最后由椎体体积公式计算即可
解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴BC⊥PA，∵BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE，
∵PA=AB，E是棱PB的中点，
∴PB⊥AE，PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC
∴直线AD到平面PBC的距离即为线段AE的长
在直角三角形PAB中，PA=AB=
6
，
∴AE=
6
×
2
2
=
3

∴直线AD到平面PBC的距离为
3

（2）如图建立空间直角坐标系：则A（0，0，0），E（
6
2
，0，
6
2
），C（
6
，
3
，0），D（0，
3
，0）
∴
AE
=（
6
2
，0，
6
2
），
AC
=（
6
，
3
，0），
ED
=（-
6
2
，
3
，-
6
2
）
DC
=（
6
，0，0）
设平面AEC的法向量为
a
=（x，y，z），
则
a
•
AE
=0，
a
•
AC
=0
即
6
2
x+
6
2
z=0 
6
x+
3
y=0
，取
a
=（1，-
2
，-1）
设平面ECD的法向量为
b
=（x，y，z），
则
b
•
DC
=0，
b
•
ED
=0
即
6
x=0
 -
6
2
x+
3
y-
6
2
z=0
，取
b
=（0，1，
2
）
cos＜
a
，
b
＞=
1×0-
2
×1-1×
2
1+2+1
0+1+2
=-
6
3

∵由图可知二面角A-EC-D的平面角为锐角
∴二面角A-EC-D的平面角的余弦值为
6
3

（3）由（1）知直线AD到平面PBC的距离为
3
，
∴点D到平面PEC的距离为
3

∵VP-ECD=VD-PEC=
1
3
S△PEC×|AE|=
1
3
×
1
2
S△PBC×
3
=
1
3
×
1
2
×
1
2
×
3
×2
3
×  
3
=
3
2

∴三棱锥P-ECD的体积为
3
2
点评：本题考察了直线与平面距离的求法，二面角的求法，三棱锥体积的求法，转化化归的思想方法，将空间问题转化为平面问题是解决本题的关键
练习册系列答案
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2
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AE
AP
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3
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3
3
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2
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