Question

已知函数f（x）=

1

3

x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 若直线y=2x和此函数的图象相切，求a的值；
（Ⅲ）若当x∈[1，3]时，f（x）-a2＞

2

3

恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据x=2是f（x）的一个极值点，可知f′（2）=0，从而可求b的值，进而利用导数大于0，可求函数y=f（x）的单调递增区间； 
（Ⅱ）根据直线y=2x和此函数的图象相切，故在切点处的斜率为2，从而可求切点，进而可求a的值；
（Ⅲ） 先确定函数在x=2处取最小值，进而利用最值法解决恒成立问题，故可解．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2bx+2．
∵x=2是f（x）的一个极值点
∴x=2是方程x²-2bx+2=0的一个根，解得b=

3

2

．
令f′（x）＞0，则x²-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．
（Ⅱ） 设切点为（x₀，y₀），则x₀²-3x₀+2=2
∴x₀=0或x₀=3
∴切点为（0，0），（3，6）
代入函数f（x）=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+a，可得a=0或a=

9

2

（Ⅲ）∵当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，x∈（2，3）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，f（x）在（2，3）上单调递增．
∴f（2）是f（x）在区间[1，3]上的最小值，且f(2)=

2

3

+a．
若当x∈[1，3]时，f（x）-a2＞

2

3

恒成立，只需f(2)＞a2+

2

3

，
即

2

3

+a＞a2+

2

3

，解得 0＜a＜1．

点评：本题以极值为依托，考查导数的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查恒成立问题的处理．