Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax²-bx+1（a、b∈R）在区间[-1，3]上是减函数，则a+b的最小值是（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  3

  2

• C、2
• D、3

Answer 1

分析：求出f′（x），因为函数在区间[-1，3]上是减函数得到f（-1）和f（3）都小于0分别列出关于a与b的两个不等式，联立即可解出a的取值范围得到a的最小值，把a的最小值当然①即可求出b的最小值，求出a+b的值即可．

解答：解：f′（x）=x²+2ax-b，
因为函数f（x）在区间[-1，3]上是减函数即在区间[-1，3]上，f′（x）≤0，
得到f′（-1）≤0，且f′（3）≤0，代入得1-2a-b≤0①，且9+6a-b≤0②，
由①得2a+b≥1③，由②得b-6a≥9④，
设u=2a+b≥1，v=b-6a≤9，
假设a+b=mu+nv=m（2a+b）+n（-6a+b）
=（2m-6n）a+（m+n）b，
对照系数得：2m-6n=1，m+n=1，解得：m=

7

8

，n=

1

8

，
∴a+b=

7

8

u+

1

8

v≥2，
则a+b的最小值是2．
故选C

点评：此题考查学生会利用导数研究函数的单调性，灵活运用不等式的范围求未知数的最值，是一道综合题．