Question

已知函数f（x）=

3

sinωxcosωx+sin2ωx-

1

2

的周期为π．
（1）求f（x）的表达式；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：首先对于（1）把三角函数表达式f（x）=

3

sinωxcosωx+sin2ωx-

1

2

化简为一般形式，再根据周期公式求解ω，即得f（x）的表达式．对于（2）有三角函数的一般表达式可直接求出其单调区间，然后根据单调性求解区间上的最值即可得到答案．

解答：解：（1）f（x）=

3

sinωxcosωx+sin2ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

-

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

6

)．
∵f（x）的周期为π，故T=

2π

2ω

=π，∴ω=1，
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)．
（2）由（1）知f(x)=sin(2x-

π

6

)，当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]．
当2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]，即x∈[0，

π

3

]时，f（x）单调递增；2x-

π

6

∈(

π

2

，

5π

6

]，
即x∈(

π

3

，

π

2

]时，f（x）单调递减；
又f(0)=-

1

2

，f(

π

2

)=

1

2

．
∴f(x)max=f(

π

3

)=1，f(x)min=f(0)=-

1

2

．

点评：此题主要考查三角函数一般式的化简和其周期性单调区间的问题，对于三角函数的性质非常重要需要理解并记忆．此题属于中档题目．