Question

（20）已知集合A=｛a₁，a₂，…，a_k｝（k≥2），其中a_i∈Z（i=1，2，…，k）.由A中的元素构成两个相应的集合：

S=｛（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A｝；T=｛（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A｝，

其中（a，b）是有序数对.集合S和T中的元素个数分别为m和n.

若对于任意的a∈A，总有-aA，则称集合A具有性质P.

（Ⅰ）检验集合｛0，1，2，3｝与｛－1，2，3｝是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；

（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A，证明：n≤；

（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论.

Answer 1

（Ⅰ）解：集合｛0，1，2，3｝不具有性质P.

集合｛－1，2，3｝具有性质P，其相应的集合S和T是

S=｛（－1，3），（3，－1）｝，T=｛（2，－1），（2，3）｝.

（Ⅱ）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（a_i，a_j）共有k²个.

因为0A，所以（a_i，a_j）T（i=1，2，…，k）；

又因为当a∈A时，-aA，所以当（a_i，a_j）∈T时，（a_j，a_i）T（i,j=1，2，…，k）.

从而，集合T中元素的个数最多为（k²-k）=，即n≤.

（Ⅲ）解：m＝n.证明如下：

（1）对于（a，b）∈S，根据定义，a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T.

如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，

从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立，

故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素.

可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n.

（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，且a-b∈A，从而（a-b，b）∈S.

如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，

从而a-b=c-d与b=d中也至少有一个不成立，

故（a-b，b）与（c-d，d）也是S的不同元素.

可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m.

由（1）（2）可知，m=n.