Question

已知函数f(x)=sinx+tan

x

2

+x3，x∈(-1，1)，则满足不等式f（a-1）+f（2a-1）＜0的实数a的取值范围是

（0，

2

3

）

．

Answer 1

分析：根据奇偶性的定义判断出f（x）为奇函数，再根据基本初等函数的单调性得到f（x）的单调性，利用奇偶性和单调性列出关于a的不等式组，求解即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f(x)=sinx+tan

x

2

+x3，x∈(-1，1)，
∴f（-x）=sin（-x）+tan

-x

2

+（-x）³=-（sinx+tan

x

2

+x³）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
∴不等式f（a-1）+f（2a-1）＜0，即f（a-1）＜-f（2a-1），即f（a-1）＜f（1-2a），
∵y=sinx在（-

π

2

，

π

2

）上单调递增，则y=sinx在（-1，1）上单调递增，
y=tan

x

2

在（-π，π）上单调递增，则y=tan

x

2

在（-1，1）上单调递增，
y=x³在R上单调递增，则y=x³在（-1，1）上单调递增，
∴函数f（x）=sinx+tan

x

2

+x³在（-1，1）上单调递增，
∴不等式f（a-1）＜f（1-2a），转化为

-1＜a-1＜1 -1＜2a-1＜1 a-1＜1-2a

，解得0＜a＜

2

3

，
∴满足不等式f（a-1）+f（2a-1）＜0的实数a的取值范围是(0，

2

3

)．
故答案为：(0，

2

3

)．

点评：本题考查了利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用基本初等函数的单调性判断函数的单调性，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是将不等式进行合理的转化，然后利用单调性去掉“f”．属于中档题．