题目内容

已知数列{a_n}满足 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）若（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）记 $数学公式$ ，求证： $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴数列{b_n}是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列
∴ $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∵（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，
∴ $\text{[math]}$ 对任意n∈N^*恒成立
∵ $\text{[math]}$ 在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴实数t的取值范围是 $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
猜想 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
用数学归纳法证明：
①n=1时，左边= $\text{[math]}$ =右边；n=2时，左边= $\text{[math]}$ ，右边= $\text{[math]}$ ，左边＞右边；
②假设n=k（k≥2）时结论成立，即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
则n=k+1时，左边= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ =右边
由①②知，猜想 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 成立
又 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）根据 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而可得数列{b_n}是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，故可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）将（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，等价于 $\text{[math]}$ 对任意n∈N^*恒成立 $\text{[math]}$ 在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，可求右边函数的最小值，从而可求实数t的取值范围；
（Ⅲ）因为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，为了证明结论，首先猜想并证明 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ ，即可证得结论．
点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查不等式的证明，解题的关键是恒成立问题的等价转化，及数列的特殊性，第（Ⅲ）难度较大．