Question

设集合M={x|f（x）=x}，集合{x|f（f（x））=x}，若已知函数y=f（x）是R上的增函数，记|M|，|N|是M，N中元素的个数，则下列判断一定正确的是

1. A.
   |M|=|N|
2. B.
   |M|＞|N|
3. C.
   |M|＜|N|
4. D.
   ||M|-|N||=1

Answer 1

A
分析：欲比较|M|，|N|是M，N中元素的个数，关键是看集合M，N的关系，一方面，若x∈M，即f（x）=x，从而f（f（x））=f（x）=x，得出x∈N，另一方面，反之，若x∈N，即f（f（x））=x，利用反证法可得：f（x）=x，从而得出M=N．
解答：若x∈M，即f（x）=x，
从而f（f（x））=f（x）=x，
∴x∈N，
反之，若x∈N，即f（f（x））=x，
当f（x）=x时成立，若f（x）≠x，∵函数y=f（x）是R上的增函数，
从而f（f（x））≠f（x）=x，这与f（f（x））=x矛盾，
故必有：f（x）=x
∴x∈M，
综上所述：M=N，
∴|M|=|N|
故选A．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、集合的包含关系判断及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题的能力．属于基础题．