Question

某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路（阴影部分所示），大棚所占地面积为S平方米，其中a：b=1：2
（1）试用x，y表示S
（2）若要使S最大，则x，y的值各为多少？

Answer 1

分析：（1）由题可得：xy=1800，b=2a，从而y=a+b+3=3a+3，因而可求大棚所占地面积；
（2）方法一：S=1808-3x-

8

3

×

1800

x

=1808-(3x+

4800

x

)，利用基本不等式可求S最大；
方法二：设 S=f(x)=1808-(3x+

4800

x

)（x＞0），利用导数法，可求S的最大值．

解答：解：（1）由题可得：xy=1800，b=2a，
则y=a+b+3=3a+3…（4分）
∴S=(x-2)a+(x-3)×b=(3x-8)a=(3x-8)

y-3

3

=1808-3x-

8

3

y．…（8分）
（2）方法一：S=1808-3x-

8

3

×

1800

x

=1808-(3x+

4800

x

)（x＞0），…（10分）≤1808-2

3x× 4800 x

=1808-240=1568，…（14分）
当且仅当3x=

4800

x

，即x=40时取等号，S取得最大值．此时y=

1800

x

=45．
所以当x=40，y=45时，S取得最大值   …（16分）
方法二：设 S=f(x)=1808-(3x+

4800

x

)（x＞0），…（10分）
f′(x)=

4800

x2

-3=

3(40-x)(40+x)

x2

，…（12分）
令f′（x）=0得x=40，
当0＜x＜40时，f′（x）＞0，当x＞40时，f′（x）＜0．
∴当x=40时，S取得最大值．此时y=45
所以当x=40，y=45时，S取得最大值．…（16分）

点评：本题重点考查函数模型的构建，考查利用基本不等式或导数法求函数的最值，解题的关键是构建函数模型．