Question

已知椭圆C：+=1的左、右两上焦点分别为F₁，F₂，过F₁作一直线交椭圆C于A、B两点

(1)求△ABF₂面积的最大值.

(2)求△ABF₂面积取得最大值时tan∠F₁AF₂的值.

Answer 1

解：(1)由+=1知F₁(-1，0)，F₂(1，0)设倾角为θ的直线AB：y=k(x+1)和椭圆C交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

    将y=k(x+1)代入8x²+9y²=72中整理得(8+9k²)x²+18k²x+9k²-72=0

    求得Δ=4×9×64(k²+1)

|AB|=|x₁-x₂|=·=(k=tanθ)

△ABF₂面积s=|AB|·|F₁F₂|·sinθ

=··2·sinθ=(0＜sinθ≤1)

    而sinθ+在sinθ=1时取得最小值9.∴△ABF₂面积最小值为.

(2)△ABF₂面积取最小值时，sinθ=1,则AB⊥x轴.

∴此时|AF₁|==而2c=2

    在Rt△AF₁F₂中,tan∠F₁AF₂=.