Question

已知函数f(x)=x-

1

x

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）用单调性定义证明函数f(x)=x-

1

x

在（0，+∞）上单调递增．

Answer 1

分析：（1）根据分式函数有意义分母不为0建立关系，即可求出函数的定义域；
（2）在（0，+∞）内任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，根据函数单调性的定义进行判定即可．

解答：解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}
（2）在（0，+∞）内任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=(x1-

1

x1

)-(x2-

1

x2

)=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＞0
∵x₁，x₂∈（0，+∞），∴x₁x₂＞0
∴1+

1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f(x)=x-

1

x

在（0，+∞）上单调递增．

点评：本题主要考查了函数的定义域，同时考查了利用定义法证明函数的单调性，属于中档题．