Question

对于函数，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点．如果函数f(x)＝有且仅有两个不动点0和2．

(Ⅰ)试求b、c满足的关系式；

(Ⅱ)若c＝2时，各项不为零的数列{a_n}满足4S_n?f()＝1，求证：＜＜；

(Ⅲ)设b_n＝－，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₀₉－1＜ln2009＜T₂₀₀₈．

Answer 1

解析：(Ⅰ)设

∴ ………………………………2分

(Ⅱ)∵c＝2   ∴b＝2    ∴，

由已知可得2S_n＝a_n－a_n²……①，且a_n≠1．

当n≥2时，2 S_{n -1}＝a_n－1－a_n－1² ……②，

①－②得(a_n＋a_n－1)( a_n－a_n－1＋1)＝0，∴a_n＝－a_n－1   或  a_n＝－a_n－1 ＝－1，

当n＝1时，2a₁＝a₁－a₁² a₁＝－1，

若a_n＝－a_n－1，则a₂＝1与a_n≠1矛盾．∴a_n－a_n－1＝－1， ∴a_n＝－n．………………4分

∴要证待证不等式，只要证 ，

即证 ，

只要证 ，即证 ．

考虑证不等式(x＞0) **．…………………………………………………6分

令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－  (x＞0) ．

∴g '(x)＝， h '(x)＝，

∵x＞0，  ∴g '(x)＞0，   h '(x)＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函数，

∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0时，．

令则**式成立，∴＜＜，……………………………………9分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知b_n＝，则T_n＝．

在中，令n＝1，2，3，……，2008，并将各式相加，

得，

即T₂₀₀₉－1＜ln2009＜T₂₀₀₈．…………………………………………………………………12分