Question

已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R）的图象的一部分如下图所示． 
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-

π

4

，

5π

6

]时，求函数y=f（x）+f（x+

π

3

）的最大值与最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）由图可知 A=1，

1

4

•

2π

ω

=

π

12

-（-

π

6

 ），求得ω=2，取点（

π

12

，1）为五点法作图的第一个点，
则 2×

π

12

+∅=0，求得∅值，即得函数f（x）的解析式．
（2）因为 y=f（x）+f（x+3），求得y=cos（2x+

π

6

 ），据x∈[-

π

4

，

5π

6

]，得 2x+

π

6

∈[-

π

3

，

11π

6

]，
根据余弦函数的单调性，求出最值．

解答：解：（1）由图可知：A=

1- (-1)

2

，

1

4

•

2π

ω

=

π

12

-（-

π

6

 ），∴ω=2，f（x）=cos（2x+∅）．
取点（

π

12

，1）为五点法作图的第一个点，则：2×

π

12

+∅=0，∴∅=-

π

6

，满足条件．
∴f（x）=cos（2x-

π

6

 ）．
（2）因为 y=f（x）+f（x+3），∴y=cos（2x-

π

6

 ）+cos[2（x+

π

3

 ）-

π

6

]=cos（2x+

π

6

 ）．
当x∈[-

π

4

，

5π

6

]时，2x+

π

6

∈[-

π

3

，

11π

6

]，当 2x+

π

6

=0 即  x=-

π

12

 时，y有最大值等于1，
当 2x+

π

6

=

3π

2

，即  x=

5π

12

 时，y有最小值等于-1．

点评：本题考查余弦函数的图象和性质，求出函数f（x）的解析式 为f（x）=cos（2x-

π

6

 ），是解题的关键．