Question

已知正方形的边长为2，分别是边的中点．
（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；
（2）从这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望．

Answer 1

（1）；（2）详见解析

试题分析：（1）首先判断这是一个几何概型，然后找出符合条件的区域与总区域的面积，利用面积之比即可算出相应的古典概型的概率；（2）先确定这八个点连线距离的几种情况，然后就不同的的值进行计算，利用离散型随机变量的计算方法列表并计算相应的数学期望。
试题解析：（1）这是一个几何概型．所有点构成的平面区域是正方形的内部，其面积是．
1分
满足的点构成的平面区域是以为圆心，为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，它可以看作是由一个以为圆心、为半径、圆心角为的扇形的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（△和△）内部构成．                        2分

其面积是．      3分
所以满足的概率为．       4分
（2）从这八个点中，任意选取两个点，共可构成条不同的线段．
5分
其中长度为1的线段有8条，长度为的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为的线段有8条，长度为的线段有2条．
所以所有可能的取值为．                    7分
且，        ，        ，
，      ．                9分
所以随机变量的分布列为：
10分
随机变量的数学期望为
．          12分