Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式；
（3）用数学归纳法证明（2）中的猜想．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，将a₁=1，代入4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9可求得a₂，同理可求得a₃，a₄的值；
（2）由（1）求得a₂=

7

3

，a3=

13

5

，a₄=

19

7

，观察分母与项数之间的关系，可找到规律，同样，每一项的分子7，13，19，…可构成等差数列，于是可猜得a_n的表达式；
（3）用数学归纳法进行证明时，第二步假设n=k时成立，证明n=k+1结论也成立时需用好归纳假设．

解答：解：（1）∵a₁=1，4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9，
∴4a₂-a₂+2=9，解得a₂=

7

3

，同理求得a₃=

13

5

，a₄=

19

7

；
（2）由a₁=1，a₂=

7

3

，a₃=

13

5

，a₄=

19

7

，猜想a_n=

6n-5

2n-1

；
（3）证明：①当n=1时，a₁=1，右端

6×1-5

2×1-1

=1，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即a_k=

6k-5

2k-1

，
那么，当n=k+1时，
∵4a_k+1-a_k•a_k+1+2a_k=9，
∴a_k+1=

9-2ak

4-ak

=

9-2• 6k-5 2k-1

4- 6k-5 2k-1

=

6k+1

2k+1

=

6(k+1)-5

2(k+1)-1

，
即当n=k+1时，等式也成立；
由①②得对任意n∈N*，等式均成立．

点评：本题考查数学归纳法，数列递推式，关键在于根据a₁、a₂、a₃、a₄的值猜想出a_n=

6n-5

2n-1

，然后再用数学归纳法予以证明，证明的难点在于，“n=k+1时，等式成立”的证明，要把已知条件4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9与归纳假设完美的结合，属于难题．