Question

求值：|2+2e

2

5

πi+e

6

5

πi|．

Answer 1

分析：先根据复数的指数形式，将绝对值内复数化为复数的三角形式，从而绝对值内变成复数的代数形式，结合复数模的概念表示出此复数的模，最后利用同角三角函数关系，以及三角函数恒等变换的技巧，可以化简结果即可．

解答：解：原式=|2+2（cos

2π

5

+isin

2π

5

）+cos

6π

5

+isin

6π

5

|
=

(2+2cos 2π 5 +cos 6π 5 ) 2+(2sin 2π 5 +sin 6π 5 ) 2

=

4+4(cos2 2π 5 +sin2 2π 5 )+(cos2 6π 5 +sin2 6π 5 ) +4(cos 2π 5 cos 6π 5 +sin 2π 5 sin 6π 5 )+8cos 2π 5 +4cos 6π 5

=

9+4cos 4π 5 + 8cos 2π 5 -4cos π 5

=

9+ 8cos 2π 5 -8cos π 5

∵cos

2π

5

-cos

π

5

=

sin π 5 (cos 2π 5 -cos π 5 )

sin π 5

=

sin 3π 5 -sin π 5 -sin 2π 5

2sin π 5

=-

1

2

∴

9+ 8cos 2π 5 -8cos π 5

=

9+8×(- 1 2 )

=

5

所以，|2+2e

2

5

πi+e

6

5

πi|=

5

点评：本题考查了复数的指数形式、复数模的概念，同时考查了三角恒变换的技巧，对运算能力的要求较强，属于难题．