Question

对一切自然数（含零）x、y定义一个运算x?y，满足以下3个条件：①x?0=x+1；②0?（x+1）=1?x；③（x+1）?（y+1）=[x?（y+1）]?y，则n?1=________，2005?2=________．

Answer 1

n+2    4013
根据已知定义的运算，研究得出（n+1）?1=（n+1）?（0+1）（构造成③的形式）=[n?1]?0（应用③）
=n?1+1（应用①），移向得：（n+1）?1-n?1+1=1，再求出0?1=2，结合等差数列的通项公式求解求出n?1．
用同样的方法，研究得出n?2-[（n-1）]?2=2，且n?2=3，得出n?2=2n+3，∴2005?2=2×2005+3=4013
解答：（n+1）?1=（n+1）?（0+1）=[n?1]?0=n?1+1，移向得：（n+1）?1-n?1+1=1，数列{n?1}是以1为公差的等差数列．当n=0时，0?1=0?（0+1）=1?0，在x?0=x+1中，令x=1，得出1?0=1+1=2.0?1=2，n?1=2+n×1=n+2，n?2=[（n-1）?2]?1=[（n-1）]?2+2，移向得：n?2-[（n-1）]?2=2，数列{ n?2}是以2为公差的等差数列，当n=0时，n?2=0?2=1?1=3，n?2=0?2+n×2=2n+3.2005?2=2×2005+3=4013．
故答案为：2n+1，4013．
点评：本题是新定义题型，此类型题目要准确理解、应用，对变量合理取值构造，转化成已有的知识和方法解决．本题用到了数列的观点和数列通项公式解法．