Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

（1）求a_n与b_n；
（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可得q+6+d=12①、q²=6+d②，解可得q与d，由等差、等比数列的通项公式即可得答案．
（2）由（1）可得c_n=a_n•b_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ，利用错位相减法计算即可得答案．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由b₂+S₂=12可得b₁q+a₁+a₁+d=12，即q+6+d=12，①
由q=

S2

b2

可得q=

a1+a1+d

b1q

，即q²=6+d，②
联立①、②可得q=3或q=-4（舍），d=3；
故a_n=3n，bn=3n-1；
（2）由（1）知：c_n=a_n•b_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ．
故T_n=1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，③
3T_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，④
③-④可得：-2Tn=3+32+33+…+3n-n•3ⁿ⁺¹=

3

2

（3ⁿ-1）-n•3ⁿ⁺¹，
则T_n=

1

4

（2n-1）•3ⁿ⁺¹+

3

4

．

点评：本题考查数列求和中常见的错位相减法，涉及等差数列、等比数列的性质，关键是正确运用错位相减法．