Question

已知
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求角α-β的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵cos2α=2cos²α-1=-，且2α∈（0，π），
∴sin2α==，
则tan2α==-；

（Ⅱ）∵，
∴sinα=，sinβ=，
又∵cosα＜cosβ，∴α＞β，即＞α-β＞0，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=，
则α-β=．
分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦函数公式化简cos2α，把cosα的值代入求出cos2α的值，由2α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin2α的值，再利用同角三角函数间的基本关系即可求出tan2α的值；
（Ⅱ）由cosα和cosβ的值，根据α，β的范围，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinα和sinβ的值，且由cosα和cosβ的大小关系，根据余弦函数在（0，）为减函数，得到α-β的范围，然后根据两角和与差的余弦函数公式化简cos（α-β），把各自的值代入即可求出值，利用特殊角的三角函数值即可求出α-β的度数．
点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．