Question

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线表示.

                       图一                                                 图二

 （Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t）;

  　　写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）;

（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

（注：市场售价和种植成本的单位：元/10²kg，时间单位：天）

Answer 1

解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为

f（t）=               　　

由图二可得种植成本与时间的函数关系为g（t）＝（t－150）²+100，   0≤t≤300. 

（Ⅱ）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）=f（t）－g（t），

即 h（t）=    　  

当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=－（t－50）²+100，

所以，当t=50时，h（t）取得区间［0，200］上的最大值100；

当200＜t≤300时，配方整理得h（t）=－（t－350）²+100，

所以，当t＝300时，h（t）取得区间（200，300）上的最大值87.5.

综上，由100＞87.5可知，h（t）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.