Question

2．已知数列{a_n}满足a_n=2a_na_n+1+3a_n+1（n∈N^*），a₁=$\frac{1}{2}$．
（1）设b_n=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$，证明：{b_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）若对任意正整数n（n≥2），不等式$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{n+lo{g}_{3}{b}_{k}}$＞$\frac{m}{24}$恒成立，求整数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过对等式a_n=2a_na_n+1+3a_n+1两边同时除以a_na_n+1、整理可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），进而数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是以首项、公比均为3的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知log₃b_n=n，通过记f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$并利用作差法可知f（n+1）-f（n）＞0，问题转化为解不等式f（n）_min=f（2）＞$\frac{m}{24}$，计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n=2a_na_n+1+3a_n+1（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2+3•$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2+1=3，
∴数列{b_n}是以首项、公比均为3的等比数列，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=3ⁿ，
∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$；
（2）解：由（1）可知，log₃b_n=$lo{g}_{3}{3}^{n}$=n，
∴$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{n+lo{g}_{3}{b}_{k}}$=$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{n+k}$，
∴不等式$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{n+lo{g}_{3}{b}_{k}}$＞$\frac{m}{24}$恒成立，
等价于：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$＞$\frac{m}{24}$，
记f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$，
则f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$＞0，
∴f（n）随着n的增大而增大，
∴f（n）_min=f（2）=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$，
∴$\frac{7}{12}$＞$\frac{m}{24}$，即m＜14，
故整数m的最大值为13．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．