Question

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x﹣1）+g（1﹣x）=x²﹣2x﹣1，且g（1）=﹣1．令．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，
证明：对x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）﹣H（x₂）|＜1．

Answer 1

解：（1）设g（x）=ax²+bx+c，
于是g（x﹣1）+g（1﹣x）=2a（x﹣1）²+2c=2（x﹣1）²﹣2，
所以
又g（1）=﹣1，则．
所以．
（2）．
当m＞0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；
当m=0时，对x＞0，f（x）＞0恒成立；
当m＜0时，由，
列表：
．
．
所以若x＞0，f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣e，0]．
故x＞0使f（x）≤0成立，实数m的取值范围（﹣∞，﹣e]∪（0，+∞）．
（3）因为对x∈[1，m]，，
所以H（x）在[1，m]内单调递减．
于是．
．
记，则，
所以函数在（1，e]是单调增函数，
所以，
故命题成立．