题目内容

如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC= $数学公式$ AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．

（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；
（2）求二面角G-EF-D的大小；
（3）求三棱椎D-PAB的体积．

（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PD⊥CD…（1分）
∵CD⊥AD，PD∩AD=D
∴CD⊥平面PAD
∵CD?平面PCD
∴平面PCD⊥平面PAD
（2）解：如图以D为原点，以 $\text{[math]}$ 为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz，则G（1，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1） $\text{[math]}$ =（0，-1，0）， $\text{[math]}$ =（1，1，-1）
设平面EFG的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z）
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
取 $\text{[math]}$ =（1，0，1）
平面PCD的一个法向量， $\text{[math]}$ =（2，0，0）
∴cos $\text{[math]}$
结合图知二面角G-EF-D的平面角为45°
（3）解： $\text{[math]}$ •PD= $\text{[math]}$
分析：（1）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥CD，根据CD⊥AD，可得CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定，可得平面PCD⊥平面PAD；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面EFG的法向量 $\text{[math]}$ =（1，0，1），平面PCD的一个法向量 $\text{[math]}$ =（1，0，0），利用向量的夹角公式，可得二面角G-EF-D的平面角；
（3）利用等体积转化，可求三棱椎D-PAB的体积．
点评：本题考查面面垂直，考查面面角，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确运用空间向量解决面面角问题，属于中档题．