Question

已知函数f(x)=

x

2x+1

-

x

2

（1）求f（-1），f（0），f（1）的值；
（2）求证：函数f（x）≤0；
（3）当-1≤a≤3时，求f（1-a）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分别把函数f(x)=

x

2x+1

-

x

2

中的x值换为-1，0，1，能够求出f（-1），f（0），f（1）．
（2）f(x)=

x

2x+1

-

x

2

=x(

1

2x+1

-

1

2

)，当x＞0时，

1

2x+1

-

1

2

＜0，当x=0时，f（x）=f(0)=

0

20+1

-

0

2

=0，当x＜0时，

1

2x+1

-

1

2

＞0，由此能够证明函数f（x）≤0．
（3）当-1≤a≤3时，-2≤1-a≤2，当1-a=0，a=1时，f（1-a）_max=0，当1-a=-2时，f（1-a）=-2(

1

1 4 +1

-

1

2

)=-

3

5

，当1-a=2时，f（1-a）=2(

1

4+1

-

1

2

)=-

3

5

，由此能求出f（1-a）的取值范围．

解答：解：（1）f（-1）=

-1

2-1+1

-

-1

2

=-

1

6

，
f(0)=

0

20+1

-

0

2

=0，
f(1)=

1

2+1

-

1

2

=-

1

6

．
（2）f(x)=

x

2x+1

-

x

2

=x(

1

2x+1

-

1

2

)，
当x＞0时，

1

2x+1

-

1

2

＜0，∴函数f（x）＜0，
当x=0时，f（x）=f(0)=

0

20+1

-

0

2

=0，
当x＜0时，

1

2x+1

-

1

2

＞0，∴函数f（x）＜0，
综上所述，函数f（x）≤0．
（3）当-1≤a≤3时，
-2≤1-a≤2，
当1-a=0，a=1时，f（1-a）_max=0，
当1-a=-2时，f（1-a）=-2(

1

1 4 +1

-

1

2

)=-

3

5

，
当1-a=2时，f（1-a）=2(

1

4+1

-

1

2

)=-

3

5

，
∴f（1-a）的取值范围是[-

3

5

，0]．

点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．