Question

【题目】已知θ为向量 与 的夹角，| |=2，| |=1，关于x的一元二次方程x2﹣| |x+ =0有实根．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f（θ）=sin（2θ+ ）的最值及对应的θ的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵θ为向量 与 的夹角，| |=2，| |=1，关于x的一元二次方程x2﹣| |x+ =0有实根．
∴△= ﹣4 =4﹣421cosθ≥0，∴cosθ≤ ，∴θ∈[ ，π]．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，函数f（θ）=sin（2θ+ ），
∵θ∈[ ，π]，∴2θ+ ∈[π， ]，故当2θ+ = 时，即θ= 时，函数f（θ）取得最小值为﹣1；
当2θ+ = 时，即θ=π时，函数f（θ）取得最大值为
【解析】（Ⅰ）由题意根据△=4﹣421cosθ≥0，求得cosθ的范围，可得θ的范围．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，函数f（θ）=sin（2θ+ ），再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（θ）=sin（2θ+ ）的最值及对应的θ的值．