Question

已知函数f(x)=2cos2(x+

π

12

)，g(x)=1+

1

2

sin(2x+

π

6

)．
（1）设x₀是方程f（x）=0的根，求g（x₀）的值；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）的最小正周期和最大值．

Answer 1

分析：（1）要求g（x₀）的值，先要解出x₀，因为x₀是方程f（x）=0的根得到f（x₀）=0，代入求得x₀的值，代入到g（x）即可求出；
（2）求出h（x）的解析式，利用两角和的正弦函数公式的逆运算化简后，利用最小正周期的公式及求正弦函数的最值方法分别求出即可．

解答：解：f(x)=2cos2(x+

π

12

)=1+cos（2x+

π

6

）
（1）∵f（x₀）=0即1+cos（2x₀+

π

6

）=0，解得x₀=kπ+

5π

12

（k∈Z）
∴g（x₀）=1+sin（2x₀+

π

6

）=1+sin（2kπ+π）=1+sinπ=0；

（2）∵h（x）=f（x）+g（x）
=2+cos（2x+

π

6

）+sin（2x+

π

6

）
=2+

2

[

2

2

cos（2x+

π

6

）+

2

2

sin（2x+

π

6

）]
=2+

2

sin（2x+

5π

12

）
∴T=

2π

λ

=

2π

2

=π．当x=kπ+

π

24

时，sin（2x+

5π

12

）=1，函数h（x）最大值为2+

2

．

点评：此题是一道综合题，涉及了灵活运用两角和的正弦函数公式、二倍角的余弦函数公式及三角函数的周期和最值的求法等知识，要求学生掌握的知识比较多，注意知识间的综合运用．