Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
（1）求a₁的值；
（2）若数列{b_n}满足bn=an+2n，求证数列{b_n}是等比数列．
（3）求满足an＞

4

5

×3n的最小正整数n．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，及a₁，a₂+5，a₃成等差数列，即可求a₁的值；
（2）再写一式，两式相减，即可证得结论；
（3）确定数列的通项，利用an＞

4

5

×3n，即可求最小正整数n．

解答：（1）解：∵2Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)
∴2a₁=a₂-3①，2（a₁+a₂）=a₃-7②
∵a₁，a₂+5，a₃成等差数列
∴2（a₂+5）=a₁+a₃，③
∴由①②③可得a₁=1；
（2）证明：∵2Sn=an+1-2n+1+1，
∴2Sn-1=an-2n+1（n≥2）
两式相减可得2an=an+1-an-2n
∴an+1=3an+2n
∵数列{b_n}满足bn=an+2n，
∴

bn+1

bn

=

an+1+2n+1

an+2n

=

3an+2n+2n+1

an+2n

=3（n≥2）
∵2a₁=a₂-3，
∴a₂=5
∴b₁=3，b₂=9
∴

b2

b1

=3
∴数列{b_n}是一个以3为首项，公比为3的等比数列．…（9分）
（3）解：由（2）知bn=3n，即an+2n=3n
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=3ⁿ-2ⁿ．…（11分）
∴

an

3n

=1-(

2

3

)n＞

4

5

，即(

2

3

)n＜

1

5

，
所以n≥4，所以n的最小正整数为4．…（15分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查学生的计算能力，属于中档题．