Question

若()ⁿ的展开式中前三项系数成等差数列，求：

（1）展开式中含ｘ的一次幂的项；

（2）展开式中所有ｘ的有理项；

（3）展开式中系数最大的项.

Answer 1

思路解析：此类问题，应首先确定ｎ的值，然后再逐题求解.而确定ｎ的值，则需由题中条件，把二项式展开式的前三项写出，据等差数列的条件得出.

解：()ⁿ的展开式中前三项系数成等差数列，所以可得

,即n=8.

T_r+1=.

（1）令4-r=1,得ｒ=4，所以ｘ的一次项为T₄₊₁=x.

（2）令4-r∈Z(且0≤r≤8)，所以ｒ=0,4，8时，

有理项为T₁=x⁴,T₅=x,T₉=.

（3）设第ｒ项系数为ｔ，设第ｋ项系数最大，则有t_k≥t_k+1且t_k≥t_k-1，

于是∴3≤k≤4.所以系数最大项为第3项T₃=和第4项T₄=.