Question

已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（2-x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在给定的图示中画出函数f（x）的图象（不需列表）；
（Ⅲ）写出函数f（x）的单调区间（不需证明）．

Answer 1

分析：（I）根据函数f（x）为定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（2-x），我们根据定义域为R的奇函数，则f（-x）=-f（x），即可求出函数f（x）在R上的解析式；
（II）根据（I）中分段函数的解析式，我们易画出函数f（x）的图象．
（III）直接根据函数f（x）的图象可得函数f（x）的单调区间．

解答：解：（ I）当x≤0时，-x≥0，得f（-x）=-x（x+2）------------------（2分）
又f（x）是定义域为R的奇函数，f（-x）=-f（x），---------------------------（3分）
得x∈（-∞，0），f（x）=x（x+2）-----------------------------------------------（4分）
所以函数f（x）的解析式是f(x)=

x(2-x)x∈[0，+∞，) x(x+2)x∈(-∞，0)

-----------（5分）
（II）如图------------------------------------------------------------------------（9分）

（说明：图形形状正确，给（2分），未标示两点（-1，-1）（1，1）扣1分）
（III）函数f（x）的递增区间是：[-1，1]---------------------------------------------（11分）
函数f（x）递减区间是：（-∞，-1]，[1，+∞）------------------------------------------（13分）
（说明：写成开区间也正确）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质和单调性及函数的图象，其中根据函数奇偶性的性质，求出函数的解析式是解答本题的关键，属于基础题．