题目内容
（2012•福州模拟）已知函数f（x）=
．
（Ⅰ）求函数f（
）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．
| cos2x | ||||
|
（Ⅰ）求函数f（
| π |
| 12 |
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．
分析：由f（x）解析式中分母不为0，求出x的范围，即为函数的定义域，并将函数解析式分子利用二倍角的余弦函数公式化简，分母利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，约分后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）将x=
代入化简后的解析式中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（
）的值；
（Ⅱ）根据正弦函数的单调递减区间及函数的定义域，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递减区间．
（Ⅰ）将x=
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（Ⅱ）根据正弦函数的单调递减区间及函数的定义域，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递减区间．
解答：解：由sin（
-x）≠0，得x-
≠kπ（k∈Z），即x≠kπ+
（k∈Z），
∴函数f（x）定义域为{x|x≠kπ+
（k∈Z）}，
f（x）=
=
=cosx+sinx=
sin（x+
），
（Ⅰ）f（
）=
sin（
+
）=
sin
=
；
（Ⅱ）令2kπ+
＜x+
＜2kπ+
（k∈Z），
得2kπ+
＜x＜2kπ+
（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递减区间为（2kπ+
，2kπ+
）（k∈Z）．
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴函数f（x）定义域为{x|x≠kπ+
| π |
| 4 |
f（x）=
| cos2x | ||||
|
| cos2x-sin2x |
| cosx-sinx |
| 2 |
| π |
| 4 |
（Ⅰ）f（
| π |
| 12 |
| 2 |
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
（Ⅱ）令2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
得2kπ+
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
∴函数f（x）的单调递减区间为（2kπ+
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
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