Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=a，a_n+1=2S_n-2ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）设b_n=S_n-2ⁿ，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_n+1≤a_n，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，S_n+1=3S_n-2ⁿ，所以b_n+1=3b_n，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由S_n=（a-2）3^n-1+2ⁿ，n∈N^*，知当n≥2时，a_n=2（a-2）3^n-2+2^n-1，a_n+1-a_n=4•3n-2[(a-2)+

1

2

(

2

3

)n-2]．n≥2时，a_n+1≤a_n?(a-2)+

1

2

(

2

3

)n-2≤0?a≤2-

1

2

(

2

3

)n-2?a≤

3

2

；n=1时，a₂≤a₁?2a-2≤a?a≤2，由此能求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）依题意，S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n-2ⁿ，
即S_n+1=3S_n-2ⁿ，
由此得S_n+1-2ⁿ⁺¹=3（S_n-2ⁿ）．
即b_n+1=3b_n（4分）
因此，所求通项公式为：
b_n=S_n-2ⁿ=（S₁-2）•3^n-1=（a-2）•3^n-1，n∈N^*．①（6分）
（Ⅱ）由①知S_n=（a-2）3^n-1+2ⁿ，n∈N^*，
于是，当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=（a-2）3^n-1+2ⁿ-[（a-2）3^n-2+2^n-1]
=2（a-2）3^n-2+2^n-1，
∴a_n+1-a_n=2（a-2）3^n-1+2ⁿ-[2（a-2）3^n-2+2^n-1]
=4（a-2）3^n-2+2^n-1
=4•3n-2[(a-2)+

1

2

(

2

3

)n-2]．（8分）
当n≥2时，a_n+1≤a_n
?(a-2)+

1

2

(

2

3

)n-2≤0
?a≤2-

1

2

(

2

3

)n-2
?a≤

3

2

（10分）
又n=1时，a₂≤a₁?2a-2≤a
?a≤2（11分）
所以?n∈N^*，a的取值范围是(-∞，

3

2

]（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法和求实数a的取值范围，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列递推式的灵活运用．