Question

（2012•武清区一模）己知非零向量

m

，

n

满足|

m

+

n

|=2|

m

-

n

|，则

m

，

n

最大夹角的正弦值为

4

5

．

Answer 1

分析：先根据已知条件平方整理得到

m

•

n

=

3

10

（

m

2  +

n

2）；再结合基本不等式以及同角三角函数之间的关系即可求出结论．

解答：解：设

m

，

n

夹角为θ，
∵|

m

+

n

|=2|

m

-

n

|，
∴

m

2+2

m

•

n

+

n

2=4（

m

2-2

m

•

n

+

n

2）⇒

m

•

n

=

3

10

（

m

2  +

n

2）≥

3

10

×2|

m

|•|

n

|；
∴

m

•

n

=|

m

|•|

n

|cosθ≥

3

10

×2|

m

|•|

n

|；⇒cosθ≥

3

5

；
又cos²θ+sin²θ=1；
∴sinθ≤

4

5

．
即

m

，

n

最大夹角的正弦值为

4

5

．
故答案为：

4

5

．

点评：本题主要考察数量积表示两个向量的夹角以及基本不等式的应用，是对基础知识的综合考察，属于基础题目．