Question

已知等差数列{a_n}满足：a₅=9，a₄-2a₂=1．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）若等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且b₁=2a₁，b₄=a₄+a₅，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）等差数列{a_n}中，由a₅=9，a₄-2a₂=1，根据等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．
（Ⅱ）等比数列{b_n}中，由（Ⅰ）和b₁=2a₁，b₄=a₄+a₅，先分别求出b₁和b₄，由等比数列通项公式求出公比，由此能求出等比数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₅=9，a₄-2a₂=1，
∴

a1+4d=9 a1+3d-2(a1+d)=1

，…（2分）
解得

a1=1 d=2

．…（4分）
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，…（5分）
Sn=

n

2

(1+2n-1)=n²．…（7分）
（Ⅱ）设等比数列{b_n}的公比为q，
由（Ⅰ）和题设得：
b₁=2a₁=2，b₄=a₄+a₅=16．…（9分）
∵b4=b1q3，…（10分）
∴2q³=16，解得q=2，
∴数列{b_n}是以b₁=2为首项，q=2为公比的等比数列．
∴T_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和，解题时要熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式．