Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

(n+1)an

2

，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=lna_n，是否存在k（k≥2，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式即可（注意要验证n=1时通项是否成立）．
（2）先利用（1）的结论求出数列{b_n}的通项，再求出b_kb_k+2的表达式，利用基本不等式得出不存在k（k≥2，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列．

解答：解：（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

(n+1)an

2

-

nan-1

2

，（2分）
即

an

n

=

an-1

n-1

（n≥2）．（4分）
所以数列{

an

n

}是首项为

a1

1

=1的常数列．（5分）
所以

an

n

=1，即a_n=n（n∈N^*）．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n∈N^*）．（7分）
（2）假设存在k（k≥2，m，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列，
则b_kb_k+2=b_k+1²．（8分）
因为b_n=lna_n=lnn（n≥2），
所以bkbk+2=lnk•ln(k+2)＜[

lnk+ln(k+2)

2

]2=[

ln(k2+2k)

2

]2
＜[

ln(k+1)2

2

]2=[ln(k+1)]2=

b

2 k+1

．（13分）
这与b_kb_k+2=b_k+1²矛盾．
故不存在k（k≥2，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列．（14分）

点评：本题考查了已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式，根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．