题目内容

已知△ABC中，角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设函数 $数学公式$ 为偶函数，且 $数学公式$ ．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为 $数学公式$ ，其外接圆的半径为 $数学公式$ ，求△ABC的周长．

解：（1）由函数 $\text{[math]}$ 为偶函数，可得f（-x）=-f（x），解得 b=0，
又 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
而0＜B＜π，∴ $\text{[math]}$ ．
（2）△ABC的外接圆的半径为 $\text{[math]}$ ，由正弦定理： $\text{[math]}$ ，解得b=2．
由余弦定理得： $\text{[math]}$ ，化简可得 a²+c²+ac=4．
又△ABC的面积为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，故有 ac=2．
∴a²+c²=2，∴（a+c）²=a²+c²+2ac=6，故 $\text{[math]}$ ，
∴△ABC的周长是： $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由f（-x）=-f（x），解得 b=0，再由 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，由此求得B的值．
（2）由正弦定理 $\text{[math]}$ ，解得b=2，再由余弦定理可得 a²+c²+ac=4．再由△ABC的面积为 $\text{[math]}$ ，可得 ac=2，进而可得a²+c²=2，故 $\text{[math]}$ ，从而求得△ABC的周长．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形的内角和公式，二倍角公式的余弦公式的应用，判断三角形的形状的方法，属于中档题．