题目内容
若f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=lnx+2009x，那么方程f（x）=0的实根的个数是（ ）
分析：当x＞0时，f（x）=lnx+2009x，为增函数，x→0+，lnx→-∞，2009x→1，可判断y轴右侧有唯一零点，同理可判断左侧的情况，再结合f（x）是R上的奇函数，即可．
解答：解：当x＞0时，f（x）=lnx+2009x，为增函数，
且x→0+，lnx→-∞，2009x→1，
∴函数f（x）=lnx+2009x在y轴右侧有唯一零点，即x＞0时，f（x）=0有唯一实根；
又∵f（x）=lnx+2009x是奇函数 所以x＜0时函数在y轴左侧有唯一零点，从而有x＜0时f（x）=0有唯一实根；
又f（x）为R上的奇函数，
∴f（x）必过（0，0），即f（0）=0
所以总共3个．
故选C．
且x→0+，lnx→-∞，2009x→1，
∴函数f（x）=lnx+2009x在y轴右侧有唯一零点，即x＞0时，f（x）=0有唯一实根；
又∵f（x）=lnx+2009x是奇函数 所以x＜0时函数在y轴左侧有唯一零点，从而有x＜0时f（x）=0有唯一实根；
又f（x）为R上的奇函数，
∴f（x）必过（0，0），即f（0）=0
所以总共3个．
故选C．
点评：本题考查函数奇偶性的性质，难点在于分类讨论（x＞0与x＜0及x=0），用趋近的数学思想判断函数零点情况，属于中档题．
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