Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n且满足3S_n-4a_n=2n-4，n∈N^*．
（1）证明：当n≥2时，a_n=4a_n-1-2；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设c_n=

an

an+1

T_n为数列{c_n}的前n项和，证明：T_n＜

2n+1

8

．

Answer 1

分析：（1）利用3S_n-4a_n=2n-4，可得3S_n-1-4a_n-1=2（n-1）-4，两式作差即可．
（2）由（1）的结论，把a_n=4a_n-1-2转化为a_n-

2

3

=4（a_n-1-

2

3

）；即{a_n-

2

3

}为等比数列，可求数列{a_n}的通项公式；
（3）由（2）的结论求出数列{c_n}的通项公式，再对数列{c_n}的通项公式放缩后分离常数，分组求和即可．

解答：解：（1）3S_n-4a_n=2n-4，①
得当n≥2时，3S_n-1-4a_n-1=2（n-1）-4   ②
①-②得，3（S_n-S_n-1）-4a_n+4a_n-1=2?-a_n+4a_n-1=2?a_n=4a_n-1-2；

（2）∵当n≥2时，a_n=4a_n-1-2；?a_n-

2

3

=4（a_n-1-

2

3

）；?{a_n-

2

3

}是以a₁-

2

3

为首项4为公比的等比数列．
又3S₁-4a₁=2-4?a₁=2?a₁-

2

3

=

4

3

∴a_n-

2

3

=

4

3

•4^n-1?a_n=

2

3

+

4

3

•4^n-1=

4n+2

3

．

（3）∵c_n=

an

an+1

=

4n+2

4n+1+2

＜

4n+ 2

4n+1

=

1

4

+

2

4n+1

当n=1时，T₁=

a1

a2

=

1

3

＜

3

8

n≥2时，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n＜

a1

a2

+

n-1

4

+2（

1

43

+

1

44

+…+

1

4n+1

）
=

1

3

+

n-1

4

+2×

1 43 - 1 4n+1 • 1 4

1- 1 4

=

2n+1

8

-

2

3•4n+1

＜

2n+1

8

综上，对所有的正整数n，都有   T_n＜

2n+1

8

．

点评：本题考查了数列求和的分组求和法．数列求和的常用方法有：裂项求和，错位相减法求和，分组求和，倒序相加求和，公式法等．