Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

，E、F分别为PC、BD的中点．
（I）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若G为线段AB的中点，求二面角C-PD-G的余弦值．

Answer 1

分析：（I）连接AC，利用三角形中位线的性质，证明EF∥PA，利用线面平行的判定，可得EF∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD的中点O，连结OP，OF，以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PDC的一个法向量、平面PGD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．

解答：（I）证明：连接AC，则F是AC的中点，
在△CPA中，∵E为PC的中点，
∴EF∥PA，
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）解：取AD的中点O，连结OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，
∴PO⊥面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，
又ABCD是正方形，故OF⊥AD．
∵PA=PD=

2

，AD=2，∴PA⊥PD，OP=OA=1
以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则有A（1，0，0），G（1，1，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），
∵侧面PAD⊥底面ABCD，AD⊥DC，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA
∵PD∩DC=D，且CD、PD?面PDC
∴PA⊥平面PCD
∴平面PDC的一个法向量为

PA

=（1，0，-1）
设平面PGD的一个法向量为

n

=（x，y，z）
∵

DP

=(1，0，1)，

GD

=(-2，-1，0)
∴由

n • DP =0 n • GD =0

可得

x+z=0 -2x-y=0

∴可取

n

=(1，-2，-1)
∴cos＜

n

，

PA

＞=

n • PA

| n || PA |

=

2

2 • 6

=

3

3

∴二面角C-PD-G的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查二面角的平面角及求法，考查逻辑推理能力，属于中档题．