Question

【题目】在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项．
（1）求∠B的大小；
（2）若a+c= ，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵bcosB是acosC，ccosA的等差中项，

∴acosC+ccosA=2bcosB，

由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB，

即sin（A+C）=2sinBcosB，

∵A+C=π﹣B，0＜B＜π，

∴sin（A+C）=sinB≠0，

∴cosB= ，B=

（2）解：由B= ，得 = ，

即 ，

∴ac=2，

∴

【解析】（1）利用等差中项的性质，知acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB，由此结合三角函数的性质能够求出∠B．（2）由（1）知B= ，利用余弦定理得到 = ，再利用三角形面积公式 ，能求出△ABC的面积．