Question

已知抛物线y²=4x，过x轴上一点K的直线与抛物线交于点P，Q．证明：存在唯一一点K，使得

1

|PK|2

+

1

|KQ|2

为常数，并确定K点的坐标．

Answer 1

分析：设出直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，计算

1

|PK|2

+

1

|KQ|2

，即可求得结论．

解答：证明：设K（a，0），过K点直线方程为y=k（x-a），交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程组

y2=4x y=k(x-a)

，
∴k²x²-2（ak²+2）x+a²k²=0，
∴x1+x2=

2(ak2+2)

k2

，x1x2=a2…（5分）
∴|PK2|=(x1-a)2+

y

2 1

，|KQ2|=(x2-a)2+

y

2 2

…（7分）
∴

1

|PK2|

+

1

|KQ2|

=

1+ a 2 k2

a2(1+k2)

，…（12分）
令a=2，可得

1

|PK2|

+

1

|KQ2|

=

1

4

，K(2，0)．…（17分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．