Question

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间［0，］上是单调函数，求φ和ω的值.

Answer 1

解：由f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x)，

    即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ).

∴-cosφsinωx=cosφsinωx对任意x都成立，且ω＞0,

∴得cosφ=0.依题意0≤φ≤π,∴得φ=，

    由f(x)的图象关于点M对称，得

f(π-x)=-f(π+x),

    取x=0,得f(π)=-f(π).

∴f(π)=0.

∵f(π)=sin(π+)=cosωπ,

∴cos=0.又ω＞0,

∴ωπ=kπ+,k=0,1，2,…,

∴ω=(2k+1),k=0,1,2,….

    当k=0时，ω=，f(x)=sin(x+)在［0，］上是减函数；

    当k=1时，ω=2，f(x)=sin(2x+)在［0，］上是减函数；

    当k≥2时，ω≥，f(x)=sin(ωx+)在［0，］上不是单调函数.

∴综合得ω=或ω=2.