Question

（2012•崇明县二模）给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，

1

2

]；
②函数y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函数；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称．
其中正确命题的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：此题是新定义，首先理解好什么是“m叫做离实数x最近的整数”，然后根据函数f（x）=|x-{x}|的表达式画出其图象，就可以判断出正确命题是①②④．

解答：解：①∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），
∴-

1

2

＜x-m≤

1

2

，∴0≤|x-m|≤

1

2

，
∴函数f（x）=|x-{x}|=|x-m|的值域为[0，

1

2

]．
②由定义知：当x=-

1

2

时，m=-1，∴f（-

1

2

）=|-

1

2

-（-1）|=

1

2

；
当-

1

2

＜x≤

1

2

时，m=0，∴f（x）=|x-0|=|x|≤

1

2

，
故f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上不是增函数，所以②不正确．
③由-

1

2

＜x-m≤

1

2

得-

1

2

＜(x+1)-(m+1)≤

1

2

，
∴{x+1}={x}+1=m+1，∴f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），
所以函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1．
④由②可知：在x∈[-

1

2

，

1

2

]时，f（x）=|x|关于y周对称；
又由③可知：函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1，
∴函数f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称．
故答案为①③④．

点评：此题是新定义，综合考查了函数的值域、单调性、周期性及对称性．理解好新定义的含义及画出函数f（x）=|x-{x}|的图象是做好本题的关键．