Question

已知函数f（x）=

1

2

ax2-（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（Ⅰ） 求f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 设g（x）=x²-2x，若对任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f/(x)=ax-(2a+1)+

2

x

=

(x-2)(ax-1)

x

当a=0时，单调增区间为（0，2），单调减区间为（2，+∞）；
当0＜a＜

1

2

时，单调减区间为（2，

1

a

），单调增区间为（0，2），（

1

a

，+∞)；
当a=

1

2

时，单调增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，单调增区间为 （0，2），单调减区间为 （2，+∞）
或a＞

1

2

时，单调减区间为（0，

1

a

），（2，+∞）；单调增区间为(

1

a

，2)；
（Ⅱ） 由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max．
由x∈（0，2]，得到g（x）_max=g（2）=0，
由（Ⅰ）知当a=0时，不成立；当a＞0时，f（x）_max=f（2）=-2a-2+2ln2，∴a＞-1+ln2