Question

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，已知b=5c，cosA=

4

5

，则sinB=（　　）

• A．

  3

  10

• B．

  2

  10

• C．

  3

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：利用同角三角函数的基本关系求出sinA=

3

5

，由正弦定理可得 sinB=5sinC．可得sinC=sin（A+B）=

3

5

cosB+

4

5

sinB，故有cosB=-5sinC．再由sin²B+cos²B=1 可得
sinC 的值，从而求得sinB的值．

解答：解：在△ABC中，∵cosA=

4

5

，∴sinA=

3

5

．
∵b=5c，由正弦定理可得 sinB=5sinC．
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

5

cosB+

4

5

sinB，把sinB=5sinC代入，整理得cosB=-5sinC．
再由sin²B+cos²B=1 可得 sinC=

2

10

．
∴sinB=5sinC=

2

2

，
故选D．

点评：本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．